Üstel işlemler ve İşlem sırası

Dört işlem konusunda bütün işlemlerin toplamadan doğduğunu söylemiştik. Çarpma işlemi seri toplama işlemidir, üstel işlemler de seri çarpma işlemidir.

Her bir işlem gidilen bir yolsa, bunun bir de geri dönüşü olacağından, her işlemin sağlaması (zıt işlemi) vardır.

Yandaki şekilde görüldüğü gibi her şey toplama işlemi ile başlıyor. Tabloda aşağıya gidildikçe işlem serileşiyor. Her bir işlemin de bir zıt işlemi mevcut.
İşte tam bu aşamada işlem önceliği gözümüze çarpıyor. Karşımıza çıkan karma bir işlemde (toplamalı, çarpmalı, çıkarmalı vs.) bu tabloyu göz önünde bulundurarak öncelikle en seri işlemden en basit işleme doğru çözüm yoluna gitmek durumundayız. Aksi takdirde sonuç yanlış olur.

Üstel işlemler “^” işaretiyle ya da işlem yapılacak sayının üzerine küçük boyutta yazılır. Kuvveti, üzeri şeklinde okunur. Mesela aşağıdaki işlemi 5 üzeri 2 ya da 5′in 2. kuvveti şeklinde okuruz. Bu 2 tane 5′i yanyana çarpacağız anlamına gelir. Burada 2 sayısı kuvvet, 5 sayısı tabanı temsil etmektedir.
Örn: 5^2 = 5 x 5 = 25
Başka bir örnek deneyelim:
Örn: 4^3 = 4 x 4 x 4 = 64
Daha fazla örneği aşağıdaki hesaplayıcı ile siz deneyin.

Grafiği dikkatli incelerseniz, girdiğimiz değer 1′den yukardaysa, kuvvetin pozitif olduğu durumlarda sürekli artımsal, kuvvetin negatif olduğu durumlarda ise 0 ve 1 arasında değerler alıyor.
Girdiğimiz sayı 1 olunca grafik tam doğru oluyor çünkü 1′in bütün kuvvetleri kendisine eşittir.
Girdiğimiz sayı 1 ve 0 arasında olunca ilk bahsettiğimiz durumun tam tersi oluşuyor.
Negatif sayılar girdiğimizde, kuvvetler tekse sonuç negatif yönde, kuvvet çiftse sonuç pozitif yönde oluyor. Bunun sebebi; iki negatif sayının çarpımının pozitif olması.
En önemlisi ise hangi değeri girersek girelim 0. kuvvetin her zaman 1′e eşit olması. 0′ın bile 0. kuvveti 0 değil, 1!

Her işlemin bir zıt işlemi olduğunu söylemiştik. Üstel işlemin zıttı da kök işlemdir. Mesela 3′ün 2. kuvveti 9 ise 9′un 2. kuvvetten kökü 3′tür. Bunu da üstel işlem olarak yazmak istersek;
9^n = 3 => 3^2n = 3^1 => 2n = 1 => n = 1/2
işleminden gördüğümüz gibi m kuvvetten olan bir kökü 1/m olarak üstel ifade şeklinde yazabiliyoruz.
Bir önceki konuda ele aldığımız oranlı sayılar konusunu hatırlayın. 1 ve 0 arasında sonsuz sayı var demiştik. İşte köklü kuvvetlerin tamamı üstel olarak ifade edildiğinde 1 ve 0 arasında yer alır. Çıkan sonuç ise taban sayı ve 1 arasında olur. Yeniden yukarıdaki grafiğe inceleyin girdiğiniz sayı ve 1 arası genişlik ve dikey doğrultuda 0 ve 1 arasındaki alana bakın. İşte orası girdiğiniz sayının kök kuvvetlerinin sonuç uzayı.

Sorular:
1) 5^2 = ?
2) 16^(1/4) = ?
3) 2^2^2 = ?
4) -3^4 = ?
5) -6^-1 = ?

Soruları yanıtlarken yukarıdaki grafikten faydalanabilirsiniz. =)