Kümeler nesneler yığınıdır. Nesne dediğimiz kavram küme içindeki bir parçacıktır ve soyut ya da somut olabilir.
Nasıl toplama, işlemlerin en temelinde yer alıyorsa, kümeler konusu da diğer matematik konularının en temelinde yer alır.
Not: Kümeler, programlamada “Array”, “Object”, “Matrix”, “XML” gibi şekillerde karşımıza çıkacak. Aslına bakarsanız bütün classlar (programlamadaki kod grupları yani sınıflar) birer object ve doğal olarak birer kümedir. Bu söylediklerim ise yazdığımız bir programda küme kullanmak istersek kullanacağımız temel classlardır.
Küme kavramını gerçek hayatta grup olarak isimlendiririz. Örneğin çalışma masanızın üzerindeki bütün nesneleri “masa kümesi” olarak isimlendirebiliriz. Bu kümenin elemanları da “Masa lambası”, “Kalemlik”, “Masa saati” gibi nesneler olur. Matematikte ise Doğal sayılar kümesi‘ni örnek verebiliriz. “Doğal sayılar kümesi” demekle, sıfırdan başlayıp sonsuza kadar giden bütün sayıları {0,1,2,3…} kasdediyoruz demektir.
Şematik olarak kümeler şu şekilde gösterilir:
Bu kümeleri tek tek inceleyelim.
A kümesinin hiç elemanı yoktur, boş kümedir.
A={}
B={1,2,3,4,5,6,10}
C={4,5,6,7,8,9}
D={6,9,10,11}
Bunun yanında kümelerin birbiriyle ilgili durumları da vardır.
Kesişim kümesi: İki kümenin ortak elemanlarının oluşturduğu kümedir.
Birleşim kümesi: İki kümenin tüm elemanlarının oluşturduğu kümedir.
Ayrıca kümeler birbiriyle de kıyaslanır. Eğer iki kümenin bütün elemanları birbiriyle eşleştirilebilirse (eleman sayıları aynıysa) bu iki küme birebirdir deriz.
Kümeler konusunda en çok kullanacağımız bilgiler bunlar. Sorulara geçelim.
- E kümesi nedir?
- B ve C’nin kesişim kümesi nedir?
- D ve E’nin kesişim kümesi nedir?
- C ve D’nin birleşim kümesi nedir?
- A ve B’nın birleşim kümesi nedir?
- A ve B’nın kesişim kümesi nedir?
- Kırmızı ve beyaz boncuklarla dolu iki çuval vardır. Sayı saymayı bilmeyen birisi hangi çuvalda daha çok boncuk olduğunu nasıl anlar?
- Dünyadaki herhangi iki ağacın yaprak sayısı eşit midir? Olumlu ya da olumsuz yanıtınızı ispatlayınız.
cody, 7. ve 8. sorular güzel. minik gauss burada olsaydı 8. soruyu cevaplardı.
7. sorunun sorulma tarzını ilk kez duyuyorum. mantık yürütmeyi beceren herkes sonuca ulaşabilir. formül yok… eşleştirirsin. kırmızı ve beyaz boncukları eşleştirirsin. açıkta kalan boncuk rengi sonucu verecek. kırmızı ise, kırmızı boncuklar daha fazla. beyaz ise beyaz boncuklar..
8. soru biraz karışık. babası gauss’a mı ne sormuş. o değil mi? onu da başkası açıklasın gayri. açıklaması da çok güzel.
Hahaha msd.
Yalnız 7. soruda yaptığın açıklama matematikteki en önemli ispatlardan birisi, bunu bil.
Çünkü orada kümeleri birebir eşleştirme var.
Bir matematikçi bu açıklamadan bazı matematikçilerin kabul edemediği bir ispatı yaptı. “Bütün tam sayılarla, bütün çift tam sayılar eşittir” dedi. İlk bakışta ne kadar çift sayı varsa tüm sayılar bunun 2 katı gibi görünüyor. Ama matematikçinin dayanağı şu; eğer n diye bir tam sayı varsa ona karşılık 2n diye bir tam sayı mutlaka vardır. Yani 3 varsa buna karşılık 6 var. 8 varsa buna karşılık 16 var. Bu durumda bütün tam sayılara karşılık bir çift tam sayı vardır ve bu iki sayı kümesi birebirdir. Yani iki kümenin eleman sayısı birbirine eşittir.
Hayırlı olsun,
Takipçi nim üstadım..
Sağolasın Fatih.
ba$arılar ba$kan.
hayırlı olsun üstad. =)
Teşekkürler.
1. E=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13
2. BnC=4,5,6
3. DnE=6,9,10,11
4. CuD=4,5,6,7,8,9,10,11
5. AuB=1,2,3,4,5,6,10
6. AnB=Ø
7. Sayı saymayı bilmeyen biri “birebir” duruma bakabilir, eşleştirme yaptığında sonuca ulaşılır.
8. Dünyadaki herhangi iki ağacı şöyle ele alıyorum:
A:{yapraklı ağaç}
B:{yaprakları dökülmüş ağaç}
A≠B
8. cevap hariç diğerleri doğru.
8. soruyu biraz daha açayım.
Yer yüzünde yaprak sayısı eşit olan ağaçlar var mıdır? Mesela herhangi bir ağacın 7486 yaprağı var diyelim. Başka bir ağacın yaprak sayısı da 7486 olabilir mi?
İpucu: 7. soruya benzer bir mantıkta cevabı var.
Merhaba,
Direk 8. soruya geçiyorum
Evet vardır.
Kesin bir cevap olmayabilir ama mantık yürütelim…Dünyadaki en az yapraklı ağacın yaprak sayısının olduğu küme A kümesi olsun.Dünyadaki en çok yapraklı ağacın yaprak sayısının olduğu küme B kümesi olsun.Tüm Ağaçların kümeside evrensel kümemiz E olsun
…
Hiç bir zaman bir ağacın yapraklarının sayısı tüm ağaçların sayısını geçmez veya eşit olmaz diye düşünüyorum…
Şimdi küçülterek düşünelim…
En az yaprak yani A nın sayısı 5 olsun.
En çok yaprak yani B nin sayısı 10 olsun.
E kümemizin sayısıda 11 olsun.
10-5 = 5 olduğundan elimizde sadece 5 değer var ancak 11 tane ağaç var bu demek oluyorki en az 2 tane aynı sayıda vardır.
Eğer en az yaprak sayısını sıfır alsaydık en çok 2 tane derdik ama mutlaka 2 tane aynı sayıda vardır diye düşünüyorum…
ya anlamaıdm doğrumu yanlışmı of oysa 6 ya geçtim uf arif hoca
Selçuk çok doğru. Aslında kapsayan küme kapsanan kümeden 1 fazla olursa eşleşmemiş 1 adet eleman kalmış demektir. Daha önce eşleşen elemanlardan en az 1 tanesiyle eşleştirirsek, kapsanan kümede mutlaka 2 defa eşleşen eleman vardır diyebiliriz.
Detaylı bilgi için bknz: Güvercin yuvası prensibi
http://www.google.com.tr/#hl=tr&biw=1280&bih=579&q=g%C3%BCvercin+yuvas%C4%B1+prensibi&aq=5&aqi=g6&aql=&oq=g%C3%BCvercin+yuvas%C4%B1+&gs_rfai=&fp=983538213d28a2b7
doğrusu bu siteye araştırma ödevi için gidim soruya daha bakmadım
acaba anlatılan doğru mudur
Doğru mudur derken?