Hesap makinesinde kök 2 işleminin sonucuna baktığınızda yukarıdaki gibi yaklaşık bir değer görürsünüz ama bu değerin virgülden sonraki kısmı sonsuza kadar uzar.
Yani kök 2, a/b şeklinde ifade edilemez.
Neden mi?

Eğer kök 2, a/b şeklinde ifade ediliyorsa her iki tarafın karesini alıp b’yi karşı tarafa attığımızda soldaki sonucu elde ederiz. Bu da a’nın çift sayı olduğu anlamına gelir ki a eğer çiftse ve bunun karesini alıyorsak b sayısının da çift olması kaçınılmaz olur. Bu durumda a ve b sayıları aralarında asal olmaları gerekirken ikisinin de çift sayı olması, a/b şeklindeki ifadenin yanlış olduğunu gösterir.

Bu da oransız (irrasyonel) sayıların varlığının ispatıdır.

Alıştırmalar:
1) Kök 2 haricinde herhangi bir oransız sayı bulun.
2) Köklü ifade olmayan bir oransız sayı söyleyin.
3) Her zaman karekökü oransız sayı olan bir sayı kümesi söyleyin.

Her bir işlem gidilen bir yolsa, bunun bir de geri dönüşü olacağından, her işlemin sağlaması (zıt işlemi) vardır.

Yandaki şekilde görüldüğü gibi her şey toplama işlemi ile başlıyor. Tabloda aşağıya gidildikçe işlem serileşiyor. Her bir işlemin de bir zıt işlemi mevcut.
İşte tam bu aşamada işlem önceliği gözümüze çarpıyor. Karşımıza çıkan karma bir işlemde (toplamalı, çarpmalı, çıkarmalı vs.) bu tabloyu göz önünde bulundurarak öncelikle en seri işlemden en basit işleme doğru çözüm yoluna gitmek durumundayız. Aksi takdirde sonuç yanlış olur.

Üstel işlemler “^” işaretiyle ya da işlem yapılacak sayının üzerine küçük boyutta yazılır. Kuvveti, üzeri şeklinde okunur. Mesela aşağıdaki işlemi 5 üzeri 2 ya da 5′in 2. kuvveti şeklinde okuruz. Bu 2 tane 5′i yanyana çarpacağız anlamına gelir. Burada 2 sayısı kuvvet, 5 sayısı tabanı temsil etmektedir.
Örn: 5^2 = 5 x 5 = 25
Başka bir örnek deneyelim:
Örn: 4^3 = 4 x 4 x 4 = 64
Daha fazla örneği aşağıdaki hesaplayıcı ile siz deneyin.

Grafiği dikkatli incelerseniz, girdiğimiz değer 1′den yukardaysa, kuvvetin pozitif olduğu durumlarda sürekli artımsal, kuvvetin negatif olduğu durumlarda ise 0 ve 1 arasında değerler alıyor.
Girdiğimiz sayı 1 olunca grafik tam doğru oluyor çünkü 1′in bütün kuvvetleri kendisine eşittir.
Girdiğimiz sayı 1 ve 0 arasında olunca ilk bahsettiğimiz durumun tam tersi oluşuyor.
Negatif sayılar girdiğimizde, kuvvetler tekse sonuç negatif yönde, kuvvet çiftse sonuç pozitif yönde oluyor. Bunun sebebi; iki negatif sayının çarpımının pozitif olması.
En önemlisi ise hangi değeri girersek girelim 0. kuvvetin her zaman 1′e eşit olması. 0′ın bile 0. kuvveti 0 değil, 1!

Her işlemin bir zıt işlemi olduğunu söylemiştik. Üstel işlemin zıttı da kök işlemdir. Mesela 3′ün 2. kuvveti 9 ise 9′un 2. kuvvetten kökü 3′tür. Bunu da üstel işlem olarak yazmak istersek;
9^n = 3 => 3^2n = 3^1 => 2n = 1 => n = 1/2
işleminden gördüğümüz gibi m kuvvetten olan bir kökü 1/m olarak üstel ifade şeklinde yazabiliyoruz.
Bir önceki konuda ele aldığımız oranlı sayılar konusunu hatırlayın. 1 ve 0 arasında sonsuz sayı var demiştik. İşte köklü kuvvetlerin tamamı üstel olarak ifade edildiğinde 1 ve 0 arasında yer alır. Çıkan sonuç ise taban sayı ve 1 arasında olur. Yeniden yukarıdaki grafiğe inceleyin girdiğiniz sayı ve 1 arası genişlik ve dikey doğrultuda 0 ve 1 arasındaki alana bakın. İşte orası girdiğiniz sayının kök kuvvetlerinin sonuç uzayı.

Sorular:
1) 5^2 = ?
2) 16^(1/4) = ?
3) 2^2^2 = ?
4) -3^4 = ?
5) -6^-1 = ?

Soruları yanıtlarken yukarıdaki grafikten faydalanabilirsiniz. =)

Oranlı sayıları daha iyi anlamak için sayı doğrusu üzerinde incelemekte fayda var.

Orantılama
0 ve 1 veya herhangi iki adet tam sayı arasında kaç adet rasyonel sayı vardır?
Cevap; sonsuz adet.

Bu durumda her hangi bir sayı aralığını 0 ve 1 arasına küçültüp başka bir sayı aralığına genişletebiliriz.
Mesela, 150 grad kaç derecedir?
Not: 1 Grad, bir dairenin etrafının 400 eşit parçasından biridir. Derece ise 360 eşit parçadan birisidir.
Grad 0 ve 400 arasındaysa ve bizdeki değer 150 ise bunu 400′e bölersek 0,375 buluruz. Artık değerimiz 0 ve 1 arasına orantılanmış durumda. Grad 0-400 arasında olduğu için sayıyı bu ölçeğin en büyük değerine yani 400′e böldük. Eğer 200 grad’ı orantılasaydık (400′e bölüp) 0,5 bulurduk. Bu tam yarım anlamına gelir ki 200 grad’a tekrar dikkat edecek olursanız o da 400 grad’ın yani bir tam turun yarısıdır.

Şimdi nasıl bölerek bir ölçeği 0 ve 1 arasına orantıladıysak onu çarparak da başka bir ölçek arasına büyütebiliriz. Derecenin en büyük değeri 360′dı. 0,375′i 360 ile çarparsak 135 derece buluruz. Demek ki 150 grad, 135 dereceymiş.

Tam tersini, 135 derece kaç graddır diye sorsaydık;
135/360 = 0,375 => 0,375*400 = 150 şeklinde bulacaktık. Bu işlemleri birleştirip formül haline getirirsek:
Derece/360*400
Derece yerine her hangi bir değer yazarsanız ona göre grad çevrimini elde edersiniz.

Orantılama, ön yüklemelerde (preloader), scroll bar tasarımında, ölçü birimlerinin çevrimlerinde, görsellerin büyütüp, küçültülmeleri gibi çok sayıda konuda sıklıkla kullanılır.

Öteleme
Orantılama da çarparak ya da bölerek ölçeğin boyutlarını değiştiriyorduk. Ötelemede ise toplama ve çıkarma işlemleriyle ölçeğin başlangıç değerini değiştiririz. Mesela 1. ölçeğimiz 20-60 arasında olsun. 2. ölçek de 40-120 arasında olsun. 1.ölçekte okunan değer 25 ise 2. ölçekte okuyacağımız değer ne olmalı şeklinde bir soruyla karşılaşsaydık çözümümüz şu olurdu;

Öncelikle 1. ölçek 20′den başladığı için elimizdeki 45 değerinden 20′yi çıkararak başlangıç noktasını 0′a taşıyoruz. (45-20 = 25) Ölçeği 0′a ötelediğimizde en yüksek değeri de 40′a ötelemiş oluruz. (60-20 = 40) Orantılama yaptığımızda 25/40 = 0,625 değerini buluruz. 2. ölçeği de 0′a öteleyelim değerlerimiz (0-80) şeklinde olacak. 0,625*80 = 50 buluruz. 2. ölçeği tekrar kendi yerine ötelersek 50+40 = 90 bulmuş oluruz.

Aranızda 2. ölçeğin, 1. ölçeğin 2 katı olduğunu farkeden vardır sanırım. Bu yüzden 1. ölçekteki değeri 2 ile çarpıp (45*2) 90 bularak doğrudan sonuca ulaşmışlardır. Yalnız bu sadece bu soruya özel olarak denk gelmiş bir durum. Eğer 2. ölçeğin ötelendiği değer farklı olsaydı 2. ölçek 1. ölçekten 2 kat büyük olsaydı bile sonuç doğru çıkmazdı.

Orantılama ve öteleme konularında bol alıştırma yapmanızı öneririm. Eğer bu konuyu yeterince iyi kavrarsanız çok faydasını göreceğinize emin olun.

Sorular:

1. 360 grad kaç derecedir?
2. 0-150 ölçeği arasında olan A değeri 0-500 ölçeğine genişletilmek isteniyor. Formül nedir?
3. 300-400 ölçeği arasında olan B değeri 100-500 ölçeğine genişletilmek isteniyor. Formül nedir?
4. Sahne genişliği 1000 px olan bir sitede 400 px genişliğindeki bir görsel ortalanmak isteniyor. Görselin x koordinatı nedir? (Sahnenin ve görselin sıfır noktaları sol köşelerindedir.)
5. Üstteki soruda eğer sahne genişliği sW, imaj genişliği iW olsaydı formül nasıl olurdu?
6. Her hangi bir ölçeği, her hangi bir ölçeğe çeviren genel formülü bulunuz.

Neyse diyeceğim o ki; bu Cuma gününe kadar yeni ders konusunda yazı yazamayacağım ama bunun gibi kişisel konuda yazılar yazarım.

Bu arada yarın 3 sınav birden var, gidip biraz ders çalışsam iyi olur.
Sağlıcakla kalın.

Not: Kümeler, programlamada “Array”, “Object”, “Matrix”, “XML” gibi şekillerde karşımıza çıkacak. Aslına bakarsanız bütün classlar (programlamadaki kod grupları yani sınıflar) birer object ve doğal olarak birer kümedir. Bu söylediklerim ise yazdığımız bir programda küme kullanmak istersek kullanacağımız temel classlardır.

Küme kavramını gerçek hayatta grup olarak isimlendiririz. Örneğin çalışma masanızın üzerindeki bütün nesneleri “masa kümesi” olarak isimlendirebiliriz. Bu kümenin elemanları da “Masa lambası”, “Kalemlik”, “Masa saati” gibi nesneler olur. Matematikte ise Doğal sayılar kümesi‘ni örnek verebiliriz. “Doğal sayılar kümesi” demekle, sıfırdan başlayıp sonsuza kadar giden bütün sayıları {0,1,2,3…} kasdediyoruz demektir.

Şematik olarak kümeler şu şekilde gösterilir:

Bu kümeleri tek tek inceleyelim.
A kümesinin hiç elemanı yoktur, boş kümedir.
A={}
B={1,2,3,4,5,6,10}
C={4,5,6,7,8,9}
D={6,9,10,11}

Bunun yanında kümelerin birbiriyle ilgili durumları da vardır.
Kesişim kümesi: İki kümenin ortak elemanlarının oluşturduğu kümedir.
Birleşim kümesi: İki kümenin tüm elemanlarının oluşturduğu kümedir.

Ayrıca kümeler birbiriyle de kıyaslanır. Eğer iki kümenin bütün elemanları birbiriyle eşleştirilebilirse (eleman sayıları aynıysa) bu iki küme birebirdir deriz.

Kümeler konusunda en çok kullanacağımız bilgiler bunlar. Sorulara geçelim.

1. E kümesi nedir?
2. B ve C’nin kesişim kümesi nedir?
3. D ve E’nin kesişim kümesi nedir?
4. C ve D’nin birleşim kümesi nedir?
5. A ve B’nın birleşim kümesi nedir?
6. A ve B’nın kesişim kümesi nedir?
7. Kırmızı ve beyaz boncuklarla dolu iki çuval vardır. Sayı saymayı bilmeyen birisi hangi çuvalda daha çok boncuk olduğunu nasıl anlar?
8. Dünyadaki herhangi iki ağacın yaprak sayısı eşit midir? Olumlu ya da olumsuz yanıtınızı ispatlayınız.

Toplama: Bir sayı üzerine diğer sayıyı ekleme işlemidir.
Örn: 5+3 = 8

Çıkarma: Bir sayı üzerine diğer sayının negatifini ekleme (toplama) işlemidir.
Örn: 5-3 = 2

Çarpma: Bir sayıyı diğer sayı kere üst üste toplama işlemidir. Yani seri toplama işlemidir. Çarpma işlemi yıldız (*), nokta (“.”), çarpı (“X”) sembolleriyle gösterilir.
Örn: 5×3,
5 tane 3 => 5 + 5 + 5 ya da
3 tane 5 => 3 + 3 + 3 + 3 + 3 şeklinde yazılabilir. Ama sonuç aynıdır, 15′tir.

Bölme: Çarpma işleminin tersi, parçalara ayırma işlemidir. İlk sayı ikinci sayının değerince eşit parçalara ayırılır.
Not: İkinci sayı ile ilk sayının yerlerini değiştirip işlem yapmaya çalışırsanız sonuç farklı çıkar. Tabi sayılar eşit değilse. =)
Örn: 15/3 = 5

Sonuç olarak açıkça görüldüğü gibi bölme, çarpma ve çıkarma işlemleri toplama işleminden doğmuştur. Tıpkı bunun gibi, matematikteki bir çok işlem de bu dört işlemden ve dolayısıyla toplama işleminden doğmuştur.

Alıştırmalara geçelim. Hesap makinesi ve arama motoru kullanmayınız lütfen. =)

1. 12+89-11 = ?
2. 5*1 + 4*10 + 7*100 = ?
3. 1+2+3+…98+99+100 = ?
4. 11-12+13+…-98+99 = ?
5. 1+22+333+…+999999999 = ?

İstediğiniz sorudan başlayabilirsiniz. Teşekkürler. =)

Matematikçiler sayıları daha iyi anlamak için onları gruplandırmışlardır.
Sayma sayıları: Adından da anlaşılacağı üzere saymak için kullandığımız 1′den sonsuza kadar devam eden sayıları temsil etmektedir.
1,2,3,4,5,6…

Doğal sayılar: Tıpkı sayma sayıları gibidir yalnız ek olarak 0 (sıfır) vardır. Yani sıfırdan başlar sonsuza kadar giderler.
0,1,2,3,4,5…

Tam sayılar: Eksi sonsuz ile artı sonsuz arasındaki sayılardır.
…-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5…

Tam sayılar ikiye ayrılır:
a)Pozitif tam sayılar: Aslında tam olarak sayma sayılarıdır. 1′den başlar sonsuza kadar devam ederler.
1,2,3,4,5,6…
b)Negatif tam sayılar: Sayma sayılarının negatifleridir. Eksi sonuzla -1 arasındaki sayılardır.
…-5,-4,-3,-2,-1

Bütün bu sayıları eksi sonsuzdan başlayıp artı sonsuza uzanan bir çizgi üzerinde gösterdiğimizde sayı doğrusunu elde ederiz.

Daha çeşitli sayı grupları da var elbette, ama onları ileride ele alacağız.

Bir sayı kaç rakamdan oluşursa o kadar basamaklı bir sayıdır deriz.
Örneğin;
38345 sayısı 5 basamaklı,
2942311 sayısı ise 7 basamaklı bir sayıdır.

Gayet basit. =)

Bu bilgileri pekiştirme adına sorular soralım:

• 3 basamaklı en küçük sayı nedir?
• 5 basamaklı rakamları farklı en büyük sayı kaçtır?
• 7 basamaklı rakamları farklı en küçük sayı kaçtır?
• 11 basamaklı ve bir rakamı en fazla 2 defa kullanmak suretiyle yazılabilecek en büyük sayı kaçtır?

Cevaplarınızı bekliyorum. =)

Bu yeni blogda yeni uygulamalı konular yer alacak. Bu konulara “Ders” demeye dilim varmıyor. İngilizce olduğu için “Tutorial” demeyi de uygun bulmuyorum. “Uygulama” olarak isimlendirince de tam yerini bulmuş olmuyor. Bu yüzden dönüp dolaşıp yine “Ders” diye isimlendirdim.
Yeni ders konuları olabildiğince temel seviyeden başlayacak. Çünkü eski blogda haklı olarak “Konular ileri seviye”, “Anlayan var, anlamayan var” gibi bir çok eleştiride bulunan olmuştu. Eğer bir konu ileri seviye ise ondan önce bilinmesi gereken bazı bilgiler olması gerekiyor.
Mesela “Bir topun duvara çarpmasını hesaplayacağız” diyelim. Bunun için çok az fizik bilgisi, fiziksel koordinatlandırmaları yapabilmek için çok az geometri, trigonometri bilgisi ve bunlar için matematiksel hesaplama bilgisi şeklinde bilgi zinciri oluşmaktadır. Ben buradaki koordinatlandırma meselesine gelince “Bilen bilir” veya “İnternetten araştırıp öğrenen öğrensin” dediğim anda bilgi kopukluğu meydana geliyor. Ayrıca ne yazık ki bu tip eksik konuları araştırıp öğrenebileceğimiz Türkçe kaynaklar yeterli değil.

Bu yüzden Temel Matematik > Geometri > Trigonometri > Fizik > Mekanik vs. şeklinde uzayan bir ders haritası çizdim. Belki konuları oluşturmamız uzun zaman alacak ama sağlam ilerlemiş olacağız. Yalnız arada bazı orta ya da ileri seviye konuların yer alacağının da altını çizerim. Yer yer sinema filmlerinde olduğu gibi “flashback”, “flashforward” gibi geri ya da ileri konulara atlayacağız. Her şey senaryomuza bağlı yani. =)
Zaten ilerledikçe konu haritamız oluşacak ve her hangi bir noktadan başlayan arkadaşlar bağlantılı konuları kolayca keşfedip güncel konulara yetişebilecek.

Bunun için şöyle bir şema yaptım ki bu da blog’un üst kısmında sürekli yer alacak:

Mesela koordinatlandırma konusunu anlayabilmek için önce sayılar ve sayı doğrusu konusunda bilgi sahibi olmamız gerekiyor. Şema bunu ifade ediyor. Kim hangi konudan başlarsa başlasın diğer ilgili konulara rahatça atlayıp istediği içeriğe ulaşabilecek.

Evet, artık başlayalım. =)