Yabancı dil öğrenmek / geliştirmek

İşte yararlanabileceğiniz web siteleri ve cep uygulamaları:

1) engVid.com
Yüzlerce ücretsiz İngilizce anlatımlı dersin bulunduğu harika bir kaynak. Intermediate seviyesinde olsanız dahi Beginner derslerini izlemenizi öneririm. Özellikle kulak aşinalığı konusunda çok fayda sağlıyor. Bu sayede kaçırmış olduğunuz ayrıntıları da tamamlamış oluyorsunuz.

2) duolingo.com
Tamamen ücretsiz ve reklamsız oyun şeklinde tasarlanmış bir uygulama. Eğer İngilizce’ye yeni başlıyorsanız sizin için güzel bir başlangıç olacak. Eğer ileri seviyedeyseniz İngilizce üzerinden başka bir dil öğrenmek hem İngilizcenizi geliştirmenize yardımcı olacak hem de yeni bir dil öğrenmiş olacaksınız.

3) Livemocha.com
Ücretsiz derslerin de bulunduğu, yazma ve konuşmanızı geliştirebileceğiniz, mektup arkadaşı edinebileceğiniz sosyal bir site. Yazdığınız ve seslendirdiğiniz yazılar ana dili İngilizce olanlar tarafından kontrol edilir ve çok hızlı gelişme sağlarsınız. Aynı şekilde siz de başkalarına Türkçe konusunda yardım ederek jeton kazanabilir ve ücretli derslerden de faydalanabilirsiniz.

4) italki.com
Doğrudan ücretli öğretmenler bulabileceğiniz bir site. Livemocha’da olduğu gibi yazdığınız bir yazı İngilizce bilenler tarafından kontrol edilir. Ayrıca dilerseniz yabancılara sadece Türkçe öğreterek de gelir elde edebilirsiniz.

5) couchsurfing.com
Gidip gezip görerek öğrenmeyi sevenler için uygun bir site. Ayrıca çeşitli ülke ve illerde dil toplantıları düzenleniyor. Size yakın bir noktada olan toplantıya katılarak da İngilizcenizi geliştirmeniz mümkün.

Akıllı Trafik Lambası

İstanbul trafiği malumunuz. Bazen, bazı noktalardaki trafik lambaları, karşı taraftan hiç araç gelmediği halde kırmızıda takılı kalıp gereksiz beklemeye sebep olurlar. Çok sayıda trafik lambası ve araç olduğunu düşünürseniz, zaman israfı, yakıt israfı ve gereksiz stresin ne boyutlarda olduğunu tahmin edebilirsiniz.

Akıllı Trafik Lambası, trafiğin çok yoğun olmadığı bu noktalarda, yol üzerinde bulunan sensörler (veya görüntü işleme ile kameradan alınan veriler) aracılığıyla, yolun, dolu ya da boş olmasına göre, geçiş yönünün değişmesini ve gereksiz beklemeyi ortadan kaldırmayı sağlar. Yalnız, trafik akışının yoğun olduğu noktalarda bu sistemden pek verim alınamaz. Yoğun olan noktalarda ancak alt geçit, üst geçit vs. yapmak trafiği azaltabilir.

Gelecekte tüm şehrin trafik lambaları tek noktadan büyük bir yapay zeka ile kontrol edilebilir. Bu sayede araca dur-kalk yaptırmaksızın bir önceki ve bir sonraki lamba arasındaki geçiş sağlanabilir.

2008 yılında Ürün Tasarımı ve Prototipleme dersinde, Yaşar Eti arkadaşımla beraber, Akıllı Trafik Lambası projesi için şöyle kısa bir sunum hazırlamıştık:
Akıllı Trafik Lambası Sunumu

Sunumu hazırlarken bir dergide okumuştum; Audi, Trafik lambası ve araç arasında kablosuz veri iletişimiyle ilgili Travolution adında bir proje geliştirmiş. İlginç bir proje ama biraz maliyetli.

Aklın yolu bir: Trafik Kontrol Merkezi benzer projeyi Kameralı Trafik Analiz Sistemi olarak geliştirmiş, Çağlayan ve Bostancı’da uygulayarak %30 oranında verim almış. Projenin uygulandığı noktaların yaygınlaşmasını ve trafiğin azalmasını ümit ediyoruz.

Trafik yoğunluğunu azaltmaya yönelik sizin fikirleriniz nelerdir?

Web-okrasi

Web-okrasi; internet tabanlı yönetim sistemi.
Bu terim 1,5 yıl kadar önce, acaba yönetim sistemi ileride ne gibi değişikliklere uğrayacak diye düşünürken aklıma gelmişti. Bugün biraz araştırınca, bu terimin ilk defa 90’lı yıllarda kullandığına dair bir sonuç (webocracy) buldum.
Aklın yolu birmiş gerçekten, çeşitli makalelerde aynen düşündüklerim anlatılmış.

Düşündüklerim şöyle:
Çeşitli referandumlar ve hatta çeşitli yasaların yürürlüğe girmesi web üzerinden anında sonuçlarla yapılabilecek. İnsanlar mobil cihazları (ilerde google gözlükleri ya da başka bir cihaz olabilir) üzerinden güvenirliği yüksek olarak anlık oy kullanabilecek. Yalnız her yeni şeyde olduğu gibi bu sistemin de iyi ve kötü yanları var.

Avantajlar:
– Yönetim daha çok çoğulcu olacak. Çoğul her zaman haklı değildir fakat halkın sesinin daha gür çıkması çoğu zaman avantajdır.
– Sandıklar, oy pusulaları ve görevlilere ihtiyaç olmayacak.
– Klasik oylamaya kıyasla büyük ekonomik kâr elde edilecek ve binlerce kağıt ve çeşitli malzemlelerin tasarrufu yapılabilecek.
– Hızlı oylama yapıldığı için yanlış kararlar, doğru kararlarla telafi edilebilecek.
– Oy çalma, sahtekarlık çok daha azalacak. Hatta sistemin şeffaf olmasına bağlı olarak sahtekarlık tamamen ortadan kaldırılabilir.
– Milletvekili azalabilir ya da bu kavram tamamen ortadan kalkabilir. Bu ekonomik avantaj sağladığı gibi çeşitli polemiklerin de azalmasına sebep olabilir.

Dezavantajlar
– Çoğunluk eğer vicdan yasalarına aykırı davranır, etik kuralları yok sayar, keyfi kararlar almaya çalışır ya da cehaleti tercih ederse; halk kendisini iyice çıkmaza sokabilir.
– Hatta yanlış kararlar sonucunda webokrasi sistemi kendisini yok edebilir.
– Haklı olabilecek azınlıklar kendilerini çoğunluğa ispat edinceye kadar ne yazık ki bastırılacak. Hatta çoğunluğun baskısında kalıp haklılıklarını hiç ispat edemeyecekler.
– Eğer şeffaflık gerçekleştirilemez, sistemin daha farklı zayıf yönleri ortaya çıkarsa daha farklı sahtekarlıklar ortaya çıkabilir.

Saydığım dezavantajların bir kısmı şu anki hali hazır sistemlerde de mevcut olan eksik yönler aslında. Bu bakımdan avantajları sebebiyle diğer yönetim sistemlerinden daha mantıklı geliyor bana. Bilemiyorum siz ne dersiniz?

Gelecek

Buluşlar, icatlar, insanlığa sunulan kolaylıklar hep dikkatimi çekmiştir. Bu yüzden “acaba gelecekte ne gibi kolaylıklar, icatlar olacak” diye düşünmeden edemem. Aklıma sürekli fikirler, geleceğe dair öngörüler canlanır, durur. “Fikirler” kategorisi altında bu fikirlerimi paylaşmayı düşünüyorum.

Yalnız fikirlerden önce kısa bir anımı paylaşmak istiyorum:
1997 yılında abimin aldığı Celeron II 300 Mhz işlemcili ilk hızlı -öncesinde kullandığımız bilgisayarlar tosbağa olduğu için bu bilgisayar bize çok hızlı geliyordu. Şimdilerde cep telefonlarının işlemcileri bile daha iyi. 🙂 – bilgisayarımızla aklıma “acaba gelecekteki bilgisayarlar hangi hızlarda olacak” sorusu gelmişti. Noktası virgülüne kadar hatırlamıyorum ama bir kağıt kalem alıp şuna benzer özelliklerde bir PC parçası listesi hazırlamıştım;

1024 Ghz CPU
1024 GB HDD
1024 GB RAM
1024 GB EkranKartı

Bu listeyi abime gösterdiğimde bana, Terabyte ve Terahertz’den bahsetmişti. Bu kağıdı atıp hazırladığım yeni listeyi tahmin edebiliyorsunuzdur. 🙂
Meğer Tera’dan sonra Peta varmış ve iş Yotta’ya kadar gidiyormuş. Çocuk aklı işte, hep daha hızlısını, en hızlısını hayal ediyordum. Halbuki bunun bir sınırı yok. Her zaman daha iyisi, daha gelişmişi olabilir, yapılabilir. Durmaksızın gelişen teknolojiyle buna hep birlikte şahit oluyoruz zaten.

ABD Patent dairesi başkanı Charles H. Duell tarafından 1899 yılında söylenen şu söz aklıma gelir hep;
“Everything that can be invented has been invented.”
“İcat edilebilecek her şey icat edildi.”

Bu sözden sonra ne icatlar ortaya çıktı ve şu andan itibaren kim bilir hangi icatlar ortaya çıkacak…

Sizin geleceğe dair ne gibi fikirleriniz var?

Sayı sistemi

Hatırlarsanız sayılar adlı konumuzda sayı ve rakam arasındaki farka dikkat çekmiştik. Tekrar hatırlamış olalım; Sayılar çokluk belirten matematik nesneleri, rakamlar ise sayıları ifade etmede kullanılan sembollerdir.
Kelimeleri harfler oluşturur, sayıları da rakamlar. Örneğin 45 bir sayıdır ve bu sayıyı yazarken kullandığımız 4 ve 5 ise birer rakamdır.

Sıklıkla kullanılan 4 tip sayı sistemi vardır:

  1. Onluk Sayı Sistemi (Decimal)
  2. İkilik Sayı Sistemi (Binary)
  3. Sekizlik Sayı Sistemi (Octal)
  4. Onaltılık Sayı Sistemi (Hexadecimal)

Günlük hayatta onluk sayı sistemini kullanıyoruz. Onluk sayı sistemi adından da anlaşılacağı gibi 10 rakamdan {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} oluşmaktadır. Rakamlar sırasıyla değer oluştururken en son rakam yani 9’dan sonra basamak atlama gerçekleşir.
Onluk sistemde her bir basamak isimlendirilmiştir. Bunlar sırasıyla: Birler, Onlar, Yüzler, Binler, On binler, Yüz binler, Milyonlar… Şeklinde devam eder.

İkilik sayı sistemi mantık sisteminin temelini ve bu sayede yazılım sistemini oluşturmaktadır. İkilik sayı sisteminde {0, 1} vardır. Mantıkta {Hayır, Evet}, elektronikte de {Akım yok, akım var} değerlerini ifade etmektedir. Bu konuyu ilerde detaylıca ele alacağız.

Onaltılık sayı sistemini de ileride renk kodlarıyla işleyeceğiz.

Alıştırmalar:
1) 178 sayısının 8 tabanında karşılığı kaçtır?
2) 16 tabanındaki FA3 sayısının 10 tabanındaki karşılığı kaçtır?
3) Eğer insanoğlunun her bir elinde dörder parmak olsaydı 8080 sayısını nasıl ifade ederdi?

Oransız sayılar

Oransız sayılar; a/b şeklinde ifade edilemeyen sayılardır. Bazı köklü ifadelerin, oranlı sayı olarak kök karşılıkları yoktur.
Örneğin; kök 4’ün sonucu 2’dir ve bu bir tam sayı, aynı zamanda oranlı sayıdır. Ama kök 2’nin tam olarak oranlı sayı karşılığı yoktur.

Hesap makinesinde kök 2 işleminin sonucuna baktığınızda yukarıdaki gibi yaklaşık bir değer görürsünüz ama bu değerin virgülden sonraki kısmı sonsuza kadar uzar.
Yani kök 2, a/b şeklinde ifade edilemez.
Neden mi?

Eğer kök 2, a/b şeklinde ifade ediliyorsa her iki tarafın karesini alıp b’yi karşı tarafa attığımızda soldaki sonucu elde ederiz. Bu da a’nın çift sayı olduğu anlamına gelir ki a eğer çiftse ve bunun karesini alıyorsak b sayısının da çift olması kaçınılmaz olur. Bu durumda a ve b sayıları aralarında asal olmaları gerekirken ikisinin de çift sayı olması, a/b şeklindeki ifadenin yanlış olduğunu gösterir.

Bu da oransız (irrasyonel) sayıların varlığının ispatıdır.

Alıştırmalar:
1) Kök 2 haricinde herhangi bir oransız sayı bulun.
2) Köklü ifade olmayan bir oransız sayı söyleyin.
3) Her zaman karekökü oransız sayı olan bir sayı kümesi söyleyin.

Üstel işlemler ve İşlem sırası

Dört işlem konusunda bütün işlemlerin toplamadan doğduğunu söylemiştik. Çarpma işlemi seri toplama işlemidir, üstel işlemler de seri çarpma işlemidir.

Her bir işlem gidilen bir yolsa, bunun bir de geri dönüşü olacağından, her işlemin sağlaması (zıt işlemi) vardır.

Yandaki şekilde görüldüğü gibi her şey toplama işlemi ile başlıyor. Tabloda aşağıya gidildikçe işlem serileşiyor. Her bir işlemin de bir zıt işlemi mevcut.
İşte tam bu aşamada işlem önceliği gözümüze çarpıyor. Karşımıza çıkan karma bir işlemde (toplamalı, çarpmalı, çıkarmalı vs.) bu tabloyu göz önünde bulundurarak öncelikle en seri işlemden en basit işleme doğru çözüm yoluna gitmek durumundayız. Aksi takdirde sonuç yanlış olur.

Üstel işlemler “^” işaretiyle ya da işlem yapılacak sayının üzerine küçük boyutta yazılır. Kuvveti, üzeri şeklinde okunur. Mesela aşağıdaki işlemi 5 üzeri 2 ya da 5’in 2. kuvveti şeklinde okuruz. Bu 2 tane 5’i yanyana çarpacağız anlamına gelir. Burada 2 sayısı kuvvet, 5 sayısı tabanı temsil etmektedir.
Örn: 5^2 = 5 x 5 = 25
Başka bir örnek deneyelim:
Örn: 4^3 = 4 x 4 x 4 = 64
Daha fazla örneği aşağıdaki hesaplayıcı ile siz deneyin.

Grafiği dikkatli incelerseniz, girdiğimiz değer 1’den yukardaysa, kuvvetin pozitif olduğu durumlarda sürekli artımsal, kuvvetin negatif olduğu durumlarda ise 0 ve 1 arasında değerler alıyor.
Girdiğimiz sayı 1 olunca grafik tam doğru oluyor çünkü 1’in bütün kuvvetleri kendisine eşittir.
Girdiğimiz sayı 1 ve 0 arasında olunca ilk bahsettiğimiz durumun tam tersi oluşuyor.
Negatif sayılar girdiğimizde, kuvvetler tekse sonuç negatif yönde, kuvvet çiftse sonuç pozitif yönde oluyor. Bunun sebebi; iki negatif sayının çarpımının pozitif olması.
En önemlisi ise hangi değeri girersek girelim 0. kuvvetin her zaman 1’e eşit olması. 0’ın bile 0. kuvveti 0 değil, 1!

Her işlemin bir zıt işlemi olduğunu söylemiştik. Üstel işlemin zıttı da kök işlemdir. Mesela 3’ün 2. kuvveti 9 ise 9’un 2. kuvvetten kökü 3’tür. Bunu da üstel işlem olarak yazmak istersek;
9^n = 3 => 3^2n = 3^1 => 2n = 1 => n = 1/2
işleminden gördüğümüz gibi m kuvvetten olan bir kökü 1/m olarak üstel ifade şeklinde yazabiliyoruz.
Bir önceki konuda ele aldığımız oranlı sayılar konusunu hatırlayın. 1 ve 0 arasında sonsuz sayı var demiştik. İşte köklü kuvvetlerin tamamı üstel olarak ifade edildiğinde 1 ve 0 arasında yer alır. Çıkan sonuç ise taban sayı ve 1 arasında olur. Yeniden yukarıdaki grafiğe inceleyin girdiğiniz sayı ve 1 arası genişlik ve dikey doğrultuda 0 ve 1 arasındaki alana bakın. İşte orası girdiğiniz sayının kök kuvvetlerinin sonuç uzayı.

Sorular:
1) 5^2 = ?
2) 16^(1/4) = ?
3) 2^2^2 = ?
4) -3^4 = ?
5) -6^-1 = ?

Soruları yanıtlarken yukarıdaki grafikten faydalanabilirsiniz. =)

Oranlı Sayılar, Orantılama, Öteleme

Oranlı sayılar
Rasyonel sayılar ya da kesirler olarak da isimlendirilirler.
Oranlı sayılar, iki tam sayının birbirine bölünmesiyle oluşurlar.
Örn: 5/2, 3/4 tabi bu bölümlerin sonuçları olan 2,5 ve 0,75 olarak da yazılabilirler.

Oranlı sayıları daha iyi anlamak için sayı doğrusu üzerinde incelemekte fayda var.

Orantılama
0 ve 1 veya herhangi iki adet tam sayı arasında kaç adet rasyonel sayı vardır?
Cevap; sonsuz adet.

Bu durumda her hangi bir sayı aralığını 0 ve 1 arasına küçültüp başka bir sayı aralığına genişletebiliriz.
Mesela, 150 grad kaç derecedir?
Not: 1 Grad, bir dairenin etrafının 400 eşit parçasından biridir. Derece ise 360 eşit parçadan birisidir.
Grad 0 ve 400 arasındaysa ve bizdeki değer 150 ise bunu 400’e bölersek 0,375 buluruz. Artık değerimiz 0 ve 1 arasına orantılanmış durumda. Grad 0-400 arasında olduğu için sayıyı bu ölçeğin en büyük değerine yani 400’e böldük. Eğer 200 grad’ı orantılasaydık (400’e bölüp) 0,5 bulurduk. Bu tam yarım anlamına gelir ki 200 grad’a tekrar dikkat edecek olursanız o da 400 grad’ın yani bir tam turun yarısıdır.

Şimdi nasıl bölerek bir ölçeği 0 ve 1 arasına orantıladıysak onu çarparak da başka bir ölçek arasına büyütebiliriz. Derecenin en büyük değeri 360’dı. 0,375’i 360 ile çarparsak 135 derece buluruz. Demek ki 150 grad, 135 dereceymiş.

Tam tersini, 135 derece kaç graddır diye sorsaydık;
135/360 = 0,375 => 0,375*400 = 150 şeklinde bulacaktık. Bu işlemleri birleştirip formül haline getirirsek:
Derece/360*400
Derece yerine her hangi bir değer yazarsanız ona göre grad çevrimini elde edersiniz.

Orantılama, ön yüklemelerde (preloader), scroll bar tasarımında, ölçü birimlerinin çevrimlerinde, görsellerin büyütüp, küçültülmeleri gibi çok sayıda konuda sıklıkla kullanılır.

Öteleme
Orantılama da çarparak ya da bölerek ölçeğin boyutlarını değiştiriyorduk. Ötelemede ise toplama ve çıkarma işlemleriyle ölçeğin başlangıç değerini değiştiririz. Mesela 1. ölçeğimiz 20-60 arasında olsun. 2. ölçek de 40-120 arasında olsun. 1.ölçekte okunan değer 25 ise 2. ölçekte okuyacağımız değer ne olmalı şeklinde bir soruyla karşılaşsaydık çözümümüz şu olurdu;

Öncelikle 1. ölçek 20’den başladığı için elimizdeki 45 değerinden 20’yi çıkararak başlangıç noktasını 0’a taşıyoruz. (45-20 = 25) Ölçeği 0’a ötelediğimizde en yüksek değeri de 40’a ötelemiş oluruz. (60-20 = 40) Orantılama yaptığımızda 25/40 = 0,625 değerini buluruz. 2. ölçeği de 0’a öteleyelim değerlerimiz (0-80) şeklinde olacak. 0,625*80 = 50 buluruz. 2. ölçeği tekrar kendi yerine ötelersek 50+40 = 90 bulmuş oluruz.

Aranızda 2. ölçeğin, 1. ölçeğin 2 katı olduğunu farkeden vardır sanırım. 🙂 Bu yüzden 1. ölçekteki değeri 2 ile çarpıp (45*2) 90 bularak doğrudan sonuca ulaşmışlardır. Yalnız bu sadece bu soruya özel olarak denk gelmiş bir durum. Eğer 2. ölçeğin ötelendiği değer farklı olsaydı 2. ölçek 1. ölçekten 2 kat büyük olsaydı bile sonuç doğru çıkmazdı.

Orantılama ve öteleme konularında bol alıştırma yapmanızı öneririm. Eğer bu konuyu yeterince iyi kavrarsanız çok faydasını göreceğinize emin olun. 🙂

Sorular:

  1. 360 grad kaç derecedir?
  2. 0-150 ölçeği arasında olan A değeri 0-500 ölçeğine genişletilmek isteniyor. Formül nedir?
  3. 300-400 ölçeği arasında olan B değeri 100-500 ölçeğine genişletilmek isteniyor. Formül nedir?
  4. Sahne genişliği 1000 px olan bir sitede 400 px genişliğindeki bir görsel ortalanmak isteniyor. Görselin x koordinatı nedir? (Sahnenin ve görselin sıfır noktaları sol köşelerindedir.)
  5. Üstteki soruda eğer sahne genişliği sW, imaj genişliği iW olsaydı formül nasıl olurdu?
  6. Her hangi bir ölçeği, her hangi bir ölçeğe çeviren genel formülü bulunuz.

Vizeler

Üniversitedeki 5. yılımla bilirlikte mezun olamamanın mutluluğunu(!) yaşıyorum. 🙂 Söylemesi ayıp, bu dönem vermem gereken tam 20 dersim var ve vize haftasındayız. Geçen hafta 8 sınava girdim ve onları atlattım çok şükür. 🙂 Bu hafta 9 sınav daha beni bekliyor. “Eee hani 20 dersin vardı? 17 etti. Geriye kalan 3 tanesi nerde?” diyebilirsiniz. Merak etmeyin bütün derslerimi evladım gibi sayıyorum. 😛 Geriye kalan 3 dersten biri bitirme tezi, biri öğretmenlik stajı, biri de yapay zeka dersi ödevi olduğu için onların sınavı yok. Bi de onlar olsaydı hepten koparırdım kayışı heralde. 😛

Neyse diyeceğim o ki; bu Cuma gününe kadar yeni ders konusunda yazı yazamayacağım ama bunun gibi kişisel konuda yazılar yazarım. 🙂

Bu arada yarın 3 sınav birden var, gidip biraz ders çalışsam iyi olur. 🙂
Sağlıcakla kalın.

Kümeler

Kümeler nesneler yığınıdır. Nesne dediğimiz kavram küme içindeki bir parçacıktır ve soyut ya da somut olabilir.
Nasıl toplama, işlemlerin en temelinde yer alıyorsa, kümeler konusu da diğer matematik konularının en temelinde yer alır.

Not: Kümeler, programlamada “Array”, “Object”, “Matrix”, “XML” gibi şekillerde karşımıza çıkacak. Aslına bakarsanız bütün classlar (programlamadaki kod grupları yani sınıflar) birer object ve doğal olarak birer kümedir. Bu söylediklerim ise yazdığımız bir programda küme kullanmak istersek kullanacağımız temel classlardır.

Küme kavramını gerçek hayatta grup olarak isimlendiririz. Örneğin çalışma masanızın üzerindeki bütün nesneleri “masa kümesi” olarak isimlendirebiliriz. Bu kümenin elemanları da “Masa lambası”, “Kalemlik”, “Masa saati” gibi nesneler olur. Matematikte ise Doğal sayılar kümesi‘ni örnek verebiliriz. “Doğal sayılar kümesi” demekle, sıfırdan başlayıp sonsuza kadar giden bütün sayıları {0,1,2,3…} kasdediyoruz demektir.

Şematik olarak kümeler şu şekilde gösterilir:

Bu kümeleri tek tek inceleyelim.
A kümesinin hiç elemanı yoktur, boş kümedir.
A={}
B={1,2,3,4,5,6,10}
C={4,5,6,7,8,9}
D={6,9,10,11}

Bunun yanında kümelerin birbiriyle ilgili durumları da vardır.
Kesişim kümesi: İki kümenin ortak elemanlarının oluşturduğu kümedir.
Birleşim kümesi: İki kümenin tüm elemanlarının oluşturduğu kümedir.

Ayrıca kümeler birbiriyle de kıyaslanır. Eğer iki kümenin bütün elemanları birbiriyle eşleştirilebilirse (eleman sayıları aynıysa) bu iki küme birebirdir deriz.

Kümeler konusunda en çok kullanacağımız bilgiler bunlar. Sorulara geçelim.

  1. E kümesi nedir?
  2. B ve C’nin kesişim kümesi nedir?
  3. D ve E’nin kesişim kümesi nedir?
  4. C ve D’nin birleşim kümesi nedir?
  5. A ve B’nın birleşim kümesi nedir?
  6. A ve B’nın kesişim kümesi nedir?
  7. Kırmızı ve beyaz boncuklarla dolu iki çuval vardır. Sayı saymayı bilmeyen birisi hangi çuvalda daha çok boncuk olduğunu nasıl anlar?
  8. Dünyadaki herhangi iki ağacın yaprak sayısı eşit midir? Olumlu ya da olumsuz yanıtınızı ispatlayınız.